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基本不等式的推广到n的证明

说到不等式,大家都了解,有人问基本不等式的推广到3,当然了,还有朋友想问基本不等式的定理,这到底是咋回事?其实重要不等式和基本不等式呢,今天小编就与大家分享基本不等式的推广,欢迎大家参考和学习

本不等式的推广

柯西不等式:

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数 ,则有( a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^ 2+a2^2+… an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2.3,…n)时取等 号。

排序不等式:

设a1,a2,… an;b1,b2…bn均 是实数,且a1≥a2≥a3≥…≥ an,b1≥b2 ≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2 +…+anbn(顺序和)≥a1b2+a2 b1+a3b3+…+aibj+… +anbm(乱序和)≥a1bn+ a2bn-1+a3bn-2+…+ anb1(逆序和 ),仅当a1=a2=a3 =…an,b1= b2=b3=…=bn时等号成立。

常用的不等式的基本性 质:a>b,b> c→a>c;

a>b →a+c>b+c;

a>b,c>0 ac>bc;

a>b,c<0→ac

a>b>0,c>d>0 ac>bd;

a>b,ab>0 → 1/a<1/b;

a>b>0 → a^n>b^n;

基本不等式:√(ab)≤(a+b)/ 2

么可以变a^2-2ab+b^ 2 0

a^2+b^2 2ab

ab≤a与b的平均数的平方。

1、 调和平均数:Hn=n/(1/a1 +1/a2+。。。+1/an)

2、几何平均数:Gn=(a1a2。。。 an)^(1/n)

3、算术平 均数:An=(a1+a2+。。。+an) /n

4、平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2 +。。。+an^2)/n]

四种平均 数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

给分

基本不等式推广到n的形式是什么,四个

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 理:设A≥0,B≥0,则(A+B)n≥An+nAn-1B。 注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于:((a1+a2+…+an )/n)n≥a1a2…an。 当n=2时易证; 假设当n=k时命题成立,即 ((a1+a2+…+ak )/k)k≥a1 a2…ak。那么当n=k+1时, 不妨设ak+1是a1,a2 ,…,ak+1中最大者,则 k ak+1≥a1+a2+…+ak。 s=a1+a2+…+ak, (( a1+a2+…+ak+1)/(k+1)) k+1 =(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1 ≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理 =(s/k)k ak+1 ≥a1a2…ak+1。用归纳假设

高中数学基本不等式链是什么(四个不等式),麻烦画张图

高中数学基本不等式链如下

术平均数 arithmetic mean),又称均值,是统计学中最基本、最常用的一种平均指标,分为简单算术平均数、加权算术平均数。它主要适用于数值型数据,不适用于品质数据。根据表现形式的不同,算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

平方平均数(quadratic mean),又名均方根(Root Mean Square),是指一组数据的平方的平均数的算术平方根。

调和平均数(harmonic mean)又称倒数平均数,是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。

几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。求几何平均数的方法叫做几何平均法。如果总水平、总成果等于所有阶段、所有环节水平、成果的连乘积总和时,求各阶段、各环节的一般水平、一般成果,要使用几何平均法计算几何平均数,而不能使用算术平均法计算算术平均数。

基本不等式三大定

基本不等式的推广到n的证明

本不等式有两种:基本不等式和推广的基本不等式(均值不等式

本不等式是主要应用于求某些函数的最大(小)值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

(1)基本不等式

两个正实髿数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数

2)推广的基本不等式(均值不等式

不等式两边相等。

基本不等式公式是什么

基本不等式公式:a+b≥2√(ab)。a大于0,b大于0,当且仅当a=b时, 等号成立

用不等式公式:

①√((a²;+b²; )/2)≥(a+ b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√ (ab)≤(a+b)/2

③a²;+b²;≥2ab

④ab≤(a+b)²;/4

||a| -|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

基本不等式应用:

1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件

2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。

3、条件最值的求解通常有两种方法:

(1)一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解

2)二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。

基本不等式中常用公式

基本不等式中常用公式:

(1)√((a²;+b²;)/ 2)≥( a+b) /2≥√ ab≥2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时,等号成立)

(2)√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时,等号成立)

(3)a²;+b²;≥2ab。(当且仅当a=b时,等 号成立)

(4 )ab≤(a+b)²;/ 4。(当且仅当a=b时,等号成立

5)||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(当且仅当a=b时,等号成立)

基本不等式的推广到n的证明

不等式的特殊性质有以下三种:

①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;

②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变

不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向变。 总结:当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为 定值时,它们的积有最大值

要不等式和基本不 等式

重要不等

a2+b2 >=2ab

本不等式

(a+b)/2>=根号下ab

基本不等式推广

a+b+c>=3(abc)的开三次

人给你证 明,加点

a+b+退c/3= x

a+b>=2【(ab)开方

c+x>=2【(cx)开方

以a+b+c+x>=2【 (ab)开方】+2【(cx)开方】>=2 *2根号(abcx^1/2)

>=4( abcx)^1/4

4x>=4(abcx)^1 /4

x^(3/4)=(abc)^1/ 4

x^3>=abc

基本不等式的推广到n的证明

x>=(abc)的开三次方'

所以(a+b+ c)/3>=(abc)的开三次方

最后 祝你春节快乐

基本不等

a1,a2,a3,……, an都是正实数,则基本不等式可推广为: (a1a2a3a……an))^(1/n)≤(a1+a2+……+an)÷n (当且仅当a1=a2=……an时取等号3个数,就是n=3 即(a1a2a3)^(1/3)≤(a1+a2+a3)÷3 (当且仅当a1=a2=a3时取等号)